[수학1] 지수함수와 로그함수 수능완성 문제풀이 해설 11p

유형4. 로그의 여러가지 성질

 

필수 유형) 두 양수 a,b에 대하여

 

좌표평면 위의 두 점 $$(2,log_4{a}), (3,log_2{b})$$를

 

지나는 직선이 원점을 지날 때, 

 

$$log_a{b}$$의 값은?

 

sol) 먼저 두 점은 모두 1사평면에 있다.

 

그리고 이 두 점과 원점은 한 직선으로 연결된다.

 

그러므로, 기울기가 같다는 것을 이용한다.

 

쉽게 각각 원점과의 기울기를 계산한다.

 

이를 계산하면 다음 로그식이 나온다.

 

그것을 로그의 성질을 이용하여 계산하면

 

답을 구할 수 있다.

 

 

 

10) 다음의 값은?

 

sol) 먼저 지수끼리 곱한다.

 

앞의 진수와 뒤의 밑이 약분되듯 사라진다.

 

굳이 길게 쓰지 말고 간단하게 계산하면

 

시간이 절약되니 참고하자.

 

그리고 4와 6을 서로 바꾸고 계산하면

 

6의 제곱이 나온다.

 

 

11) 등식 $$1/log_2{a}+log_3{a}+log_25{a}/log_5{a}=1$$을

 

만족시키는 양수 a의 값을 구하시오

 

(a≠1)

 

sol) $$log_25{a}/log_5{a}$$의 밑 25를 5로 맞춰주며 계산하면

 

이 값은 1/2가 된다.

 

그리고 $$1/log_2{a}=log_a{2}$$로

 

변환시킨다. 이는 a를 밑으로 맞춰

 

계산하기 위함이다.

 

$$log_a{6}=1/2$$가 되고,

 

a는 6의 제곱이 나온다.

 

 

12) 세 양수 a,b,c가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $$\sqrt{a}=\sqrt[3]{b}=\sqrt[5]{c}$$

 

(나) $$log_2{bc/a}=3$$

 

1보다 큰 두 실수 m,n이 

 

$$log_2{a}*log_m{b}*log_n{c}=1$$을 만족시킬 때,

 

$$log_2{mn}$$의 최솟값은?

 

 

sol) step1) 가를 이용한다.

 

이를 임의의 양수 k를 이용하여

 

a,b,c를 k로 표현한다.

 

$$a=k^2, b=k^3, c=k^5$$로 놓으면

 

가를 만족한다.

 

이렇게 표현하는 이유는

 

 a,b,c라는 세가지 미지수를 하나로 바꿀 수 있기 때문이다.

 

 

step2) 나를 이용한다.

 

가에서 구한 $$a=k^2, b=k^3, c=k^5$$를 활용하여

 

$$log_2{bc/a}=3$$에 대입한다

 

그러면 $$k^2=2$$가 나온다.

 

 

step3) 구하려고 하는 식 정리하기

 

$$log_2{a}*log_m{b}*log_n{c}=1$$에서

 

밑이 2인 로그로 다 정리한다

 

그리고 a,b,c도 $$a=k^2, b=k^3, c=k^5$$를 사용하여

 

 k로 정리한다

 

그러면 $$log_2{k}$$를 제외하고

 

모두 숫자로 정리가 된다.

 

 

step4) $$k^2=2$$를 $$log_2{k}$$꼴로 고치기

 

양변에 로그를 취하여 $$log_2{k}=1/2$$임을 구한다.

 

step3 마지막 부분에 대입하여 

 

$$log_2{m}*log_2{n}=15/4$$를 구한다.

 

 

step5) 산술기하 이용

 

$$log_2{mn}$$의 최솟값을 구해야 하는데

 

$$log_2{m}*log_2{n}=15/4$$임을 알고 있다

 

따라서 산술기하를 사용한다

 

$$log_2{m}+log_2{n}≥2\sqrt{log_2{m}*log_2{n}=15/4}$$

 

$$log_2{mn}≥\sqrt{15}$$이므로

 

$$log_2{mn}$$의 최솟값은 $$\sqrt{15}$$이다.