[수학1] 지수함수와 로그함수 수능완성 문제풀이 해설 9p

유형2. 지수의 확장과 지수법칙

필수유형) $$16\ast 2^{-3}$$의 값은?

sol) 2점문제이다. 틀리면 안된다.

지수끼리만 보고 빠르게 머리로 풀어도 된다.

4) $${27}^{-1}/[(1/9)\ast \sqrt[3]{81}{]}^{9/2}$$의 값은?

sol) 위 문제와 같이 쉬운 문제이다.

빨리 풀되. 틀리지 말자.

딱 볼땐 복잡해 보일 수도 있으나

침착하게 괄호부터 처리하면 쉽다.

 

5) 두 실수 a,b에 대하여

$$2^{a+b/2}=1/3,2^{a-b/2}=27$$일 때,

$$\sqrt{2^{3}a}\ast \sqrt[3]{2^b}$$의 값은?

Sol)

주어진 식의 지수부분을 보자

b부분의 부호만 다르다.

따라서 이 문제는 좌변끼리, 우변끼리 곱하고 나눈다.

그러면 각각의 a와 b의 값을 구할 수 있다.

하지만 어차피 구하는 값도 $$2^a$$의 형태이다.

따라서 $$2^a$$의 형태를 그대로 두고

이를 활용하여 구하라는 값을 구하면 된다.

6) 실수 x와 0이 아닌 정수 n에 대하여

$$9^x-3^{x+10/n}=-1$$을 만족시키도록

x,n,의 값을 정할 때,

$$9^x+9^{-x}-2$$의 값이 자연수가 되도록 하는

모든 n의 값의 합을 구하시오

Sol)

복잡해보이나 매우 간단한 문제이다.

$$(3^x+3^{-x}{)}^2=9^x+9^{-x}+2$$라는 식만 떠올리면 된다.

문제에서 대놓고 이러한 형태를 보이고 있다.

이를 잘 캐치하여 주어진 식을 구하고자하는 식에

잘 근접시키자.

step1) $$(3^x+3^{-x}{)}^2=9^x+9^{-x}+2$$꼴로 만들기

주어진 식을 보면 $$9^{-x}$$가 매우 불편하다.

이 불편함을 없애고자

양변을 $$3^x$$로 나눈다.

그리고 양변에 보기 좋게 이항시킨다.

step2) 양변 제곱

양변을 제곱시키면 우리가 원하는 식과 매우 근접해진다.

$$9^x+9^{-x}-2=3^{20/n}-4$$로 만들어 준다.

step3) $$3^{20/n}-4$$ 자연수 판단

$$3^{20/n}-4$$가 자연수가 되는 값을 찾는다.

먼저 20/n이 자연수가 되야 $$3^{20/n}-4$$가 자연수가 된다

따라서 20의 약수인 1,2,4,5,10,20 중에서

n=20은 대입하면 음수가 나온다.

따라서 n=20을 제외한 나머지

1,2,4,5,10이 가능한 값이고 이를 더하면 22이다.