[수학1] 지수함수와 로그함수 수능완성 문제풀이 해설 8p

유형1. 거듭제곱의 뜻과 성질 (수능완성 8p.)

필수 유형. 자연수 n이 2≤n ≤11일 때, $$-n^2+9n-18$$의 n제곱근 중
음의 실수가 존재하는 모든 n의 합

sol)

먼저 n제곱근이므로 a의 부호와 n의 짝수홀수에 따라 근이 달라진다.
음의 실수근이 나오는 가지는 두가지다.

n이 짝수일 때, 음수근은 a>0 일 때 나온다.
n이 홀수일 때, 음수근 a<0 일 때 나온다.
이에 따른 자세한 사항은 아래 그림을 참조하면 된다.
따라서 $$-n^2+9n-18$$를 양수와 음수에 따른 케이스분류를 진행한다.

1) $$-n^2+9n-18$$가 양수일 때
n이 짝수이고 n의 양수범위이고 초기조건 만족하는 n
n=4

2) $$-n^2+9n-18$$가 음수일 때,
n이 홀수이고 n의 음수범위이고 초기조건 만족하는 n
n=7,9,11

따라서 n의 합은 31이다.


참고사항) a의 n제곱근에 따른 근의 갯수

1. 간단한 계산문제

분수형태로 고쳐서 풀면 간단하다.
이런문제는 신속하게 풀되, 정확하게 맞추자.

 

2. a의 세제곱근 중 실수인 것과 8의 여섯제곱근 중
음의 실수인 것이 서로 같고,
양의 실수 b의 제곱근 중 양의 실수인 것과
$$\sqrt[4]{8}$$의 세제곱근 중 실수인 것이 서로 같다.
a+b?

sol)
길어보이지만 엄청 짧다.
식을 하나씩 세우면 매우 간단하다.
지수를 분수형태로 바꾸고,
a와 b를 각각 구해 더한다.

3. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 k(k>2)인 원 위의 점 중
y좌표가 1보다 큰 자연수인 점들의 집합을 A라 하고
A에 대해 집합B는 다음과 같다.
B={x|x는 a의 n제곱근 중 양의 실수, (a,n)∈A}
집합 B의 원소의 갯수가 7일 때, $$k^2$$의 최댓값의 구하시오.

sol)

step1) A집합 설정

먼저 y>1인 집합을 찾는다

그림의 빨간 선이 모두 A 집합에 속하고

이를 (a,n)이라 좌표로 만든다.

그리고 (x,y)에 (a,n)을 대입하여

$$x^2+y^2=k^2$$을 $$a^2+n^2=k^2$$으로 만들어

a에 대한 식으로 만든다.

 

step2) a의 n제곱근 중 양의 실수 찾기

$$\sqrt{k^2-a^2}$$의 n제곱근을 찾는다.

n이 짝수, 홀수일 때 양의 실수가 나온다.

이를 합치면 같은 양의 실수 한 개가 발생한다.

 

step3) 범위에 따른 근 찾기

처음 범위인 2<k, 양의 실수이므로 n≤k

이를 합치면 2<n≤k이다.

B의 원소의 갯수가 7인 k의 최댓값을 찾는다.

n=2,3,4...8까지 n이 7개이고,

k=9일 때까지 n은 7개이다. 

k가 9보다 커지면 n이 9까지 포함되므로 8개가 되버린다.

따라서 k의 최대는 9이고

$$k^2=81$$이다.