Cambridge IGCSE Mathematics | Linear Inequalities

이번 영어 수학 수업 연습의 주제는 Linear Inequalities, 일차부등식이다.

앞에서 Linear Equations와 Simultaneous Equations를 다룬 뒤, 이번에는 방정식과 비슷하지만 하나의 값이 아니라 **여러 가능한 값의 범위(range of values)**를 구하는 부등식을 연습했다.

 

 

1. Inequality Symbols

부등식에서 자주 사용하는 기호는 다음과 같다.

SymbolEnglishMeaning

\(<\)	less than	~보다 작다
\(>\)	greater than	~보다 크다
\(\le\)	less than or equal to	~보다 작거나 같다
\(\ge\)	greater than or equal to	~보다 크거나 같다

예를 들어,

\[ 6<8 \]

은 영어로

Six is less than eight.

라고 읽는다.

반대로

\[ 8>6 \]

은

Eight is greater than six.

라고 읽는다.

Teacher Language

“What does this symbol mean?”

“How would you read this inequality?”

“Six is less than eight.”

“Eight is greater than six.”

학생이 기호를 단순히 이름으로 기억하기보다 두 수의 크기 관계를 말로 표현하도록 하는 것이 중요하다.

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2. What happens when we perform the same operation on both sides?

방정식과 마찬가지로 부등식에서도 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것이 가능하다.

예를 들어,

\[ 6<8 \]

양변에 2를 더하면

\[ 8<10 \]

여전히 참이다.

양변에서 2를 빼면

\[ 4<6 \]

역시 참이다.

양변에 2를 곱하면

\[ 12<16 \]

이 역시 참이다.

즉, 양수로 연산하는 동안에는 수의 대소 관계가 유지된다.

Teacher Language

“Let’s add two to both sides.”

“Is the statement still true?”

“Now subtract two from both sides.”

“Has the inequality changed?”

“What do you notice?”

여기서는 교사가 설명을 전부 하는 것보다 학생에게 계속

“Is it still true?”

라고 묻는 방식이 좋다.

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3. The Important Rule: Negative Numbers

일차부등식에서 가장 중요한 부분이다.

처음에

\[ 6<8 \]

이라고 하자.

양변을 \(-2\)로 나누면서 부등호를 그대로 유지하면

\[ -3<-4 \]

가 된다.

하지만 이것은 거짓이다.

수직선에서 \(-3\)은 \(-4\)보다 오른쪽에 있으므로 실제로는

\[ -3>-4 \]

이다.

따라서 다음 규칙이 필요하다.

When we multiply or divide both sides of an inequality by a negative number, we reverse the inequality sign.

즉,

음수로 곱하거나 나누면 부등호의 방향을 바꾼다.

교재에서도 음수로 곱하거나 나눌 경우 기존 부등호를 그대로 사용하면 참이 아니게 되고, 부등호 방향을 바꿔야 한다고 설명한다. 

Teacher Language

학생에게 바로 규칙을 알려주기보다 이렇게 유도할 수 있다.

“Six is less than eight. Is this true?”

“Now divide both sides by negative two.”

“We get negative three and negative four.”

“Is negative three less than negative four?”

“No.”

“So what needs to change?”

그리고 결론:

“We need to reverse the inequality sign.”

또는 조금 더 쉬운 표현으로

“The inequality sign changes direction.”

이라고 설명할 수 있다.

수업에서는 reverse the inequality sign을 핵심 표현으로 사용하고, changes direction을 보조 설명으로 사용하는 것이 자연스럽다.

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4. Representing an Inequality on a Number Line

부등식의 해는 하나의 숫자가 아니라 여러 숫자가 될 수 있기 때문에 number line으로 표현할 수 있다.

예를 들어,

\[ x<-3 \]

이라면 \(-3\)보다 작은 모든 수가 답이다.

여기서 중요한 것이 open circle과 closed circle이다.

Open Circle

\[ x<-3 \]

에서 \(-3\) 자체는 포함되지 않는다.

따라서 \(-3\)에 open circle을 사용한다.

Closed Circle

반면

\[ x\le-3 \]

에서는 \(-3\)도 답에 포함된다.

따라서 closed circle을 사용한다.

Teacher Language

“Is negative three included in the solution?”

“No, so we use an open circle.”

또는

“Yes, negative three is included, so we use a closed circle.”

그리고 방향을 묻는다.

“Which direction should the arrow go?”

“We need values less than negative three, so we go to the left.”

여기서 교사가 바로 화살표를 그리기보다는 학생에게 방향을 결정시키는 질문을 하는 것이 좋다.

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5. Solving a Linear Inequality

이번 수업에서 사용한 예제:

\[ 15+3x<6 \]

먼저 양변에서 15를 뺀다.

\[ 3x<-9 \]

그 다음 양변을 3으로 나눈다.

\[ x<-3 \]

3은 양수이기 때문에 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

따라서 최종 답은

\[ \boxed{x<-3} \]

이다.

Teacher Language

“What should we do first?”

“Subtract fifteen from both sides.”

“What do we have now?”

“Three x is less than negative nine.”

“What should we divide both sides by?”

“Three.”

여기서 중요한 질문:

“Are we dividing by a positive number or a negative number?”

학생:

“A positive number.”

교사:

“So do we need to reverse the inequality sign?”

학생:

“No.”

이 질문 하나 넣으면 학생이 단순 계산뿐 아니라 부호 반전 조건을 의식하고 있는지 확인할 수 있다.

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6. Another Example

\[ 17\le7x+3 \]

양변에서 3을 빼면

\[ 14\le7x \]

양변을 7로 나누면

\[ 2\le x \]

보통 변수를 왼쪽에 두어

\[ \boxed{x\ge2} \]

로 표현할 수도 있다.

Teacher Language

“Two is less than or equal to x.”

“How could we write this with x on the left?”

\[ x\ge2 \]

“Did the mathematical meaning change?”

“No. We only changed the way we wrote the statement.”

이 부분도 은근 중요해.
2 ≤ x를 보고 부등호를 “뒤집었다”고 오해하는 학생이 있기 때문.

이 경우는 음수로 나눈 것이 아니라 문장의 좌우 위치를 바꿔 같은 관계를 다시 표현한 것이다.

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Common Mistakes

1. Forgetting to reverse the sign

\[ -2x<6 \]

에서 양변을 \(-2\)로 나누면

❌

\[ x<-3 \]

가 아니라

✅

\[ x>-3 \]

이다.

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2. Using the wrong circle

\[ x<4 \]

에서는 4가 포함되지 않으므로 open circle.

\[ x\le4 \]

에서는 4가 포함되므로 closed circle.

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3. Drawing the arrow in the wrong direction

x < 4에서는 4보다 작은 값이므로 왼쪽.

x > 4에서는 4보다 큰 값이므로 오른쪽.

외워서 그리기보다 실제 숫자를 하나 넣어 확인하는 것도 좋다.

“Is 3 a solution?”

“Is 5 a solution?”

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Useful Teacher Language

이번 단원에서 반복해서 사용할 만한 표현을 정리하면 다음과 같다.

개념 확인

“What does this symbol mean?”

“Which value is greater?”

“Is this statement true or false?”

계산 과정

“Add two to both sides.”

“Subtract fifteen from both sides.”

“Divide both sides by three.”

“Simplify both sides.”

음수 처리

“Are we multiplying or dividing by a negative number?”

“What happens to the inequality sign?”

“We need to reverse the inequality sign.”

수직선

“Is this value included in the solution?”

“We use an open circle.”

“We use a closed circle.”

“Which direction should we go?”

“Represent the solution on a number line.”

학생 사고 유도

“Why?”

“How do you know?”

“Is this still true?”

“Can you give me one value that satisfies the inequality?”

이 마지막 문장도 좋아.

예를 들어

\[ x<-3 \]

에 대해

“Give me one value that satisfies this inequality.”

학생이 -4라고 하면 실제로 해의 의미를 이해했는지 바로 확인할 수 있다.

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이번 모의수업 피드백

이번 영상 기준으로 수업의 뼈대 자체는 유지하는 게 좋음.

특히

비교 기호 → 같은 연산 → 음수 반례 → 부호 반전 → number line → 실제 문제

순서가 논리적으로 연결되어 있어.

다음번에는 여기서 설명을 더 추가하는 것보다 학생에게 던지는 질문을 늘리는 방향이 더 좋다.

예를 들어 설명:

“When we divide by a negative number, we reverse the inequality sign.”

에서 끝내지 말고,

“What happens if I don't reverse it?”

→ -3 < -4

“Is this true?”

→ No.

“So what should I change?”

이런 식으로 하면 같은 내용인데도 훨씬 학생 중심의 영어 수학 수업처럼 보인다.

그리고 이번 영상에서 판서 색을 나눈 것도 괜찮았음. 검은색으로 원식과 답, 다른 색으로 +2, -15, ÷3 같은 operation을 표시하니까 수식 변형 과정이 눈에 보인다.

다만 실제 demo lesson이라면 화면 상단에 처음부터 딱 하나 써놓는 걸 추천:

Learning Objective: Solve linear inequalities and represent the solution on a number line.

그러면 면접관 입장에서 “오늘 뭘 가르치려는 수업인지”가 시작 10초 안에 바로 보임.

현재 영상은 개념 설명 연습으로는 꽤 괜찮고, 다음 단계는 영어를 더 어렵게 만드는 게 아니라 teacher explanation ↓ / student questioning ↑로 바꾸는 것이 핵심이야.