[수학1] 지수함수와 로그함수 수능완성 문제풀이 해설 10p

필수 유형) 자연수 n의

 

양의 약수의 개수를 f(n)이라고 하고, 

 

36의 양의 약수를 $$a_1, a_2,...,a_9$$라 하자.

 

∑k=1~9$${(-1)^{f(a_k)}*loga_k}$$의 값은?

 

sol) 먼저 36의 약수를 구한다.

 

1,2,3,4,6,9,12,18,36이 해당된다.

 

각각의 f(n) 즉,

 

1~36의 각각의 양의 약수의 갯수를 구한다.

 

$$-1^{f(a_k)}$$을 찾는 것이다.

 

이는 결국 양의 약수의 갯수의 홀수, 짝수에 따라

 

각각 -1,+1로 결정된다.

 

그리고 로그법칙에 따라 

 

+는 곱하고 -는 나누면 log6이 나온다.

 

이를 선지에 맞게 log2+log3으로 바꾼다.

 

7) 모든 실수 x에 대하여

 

$$log_{|a+3|} {x^2+ax-a+3}$$의 값이

 

정의되도록 하는 

 

모든 정수 a의 값의 합은?

 

sol) 밑과 진수의 범위를 묻는

 

간단한 문항이다.

 

밑) |a+3|은 영보다는 크고

 

1이 되서는 안된다.

 

이에따라 |a+3|>0, |a+3|≠1을 만족하는

 

a의 값은 각각 -3과 -2,-4를 제외한 값이다.

 

지수) $$x^2+ax-a+3>0$$을 만족하는

 

a의 범위를 구한다.

 

이는 판별식 D를 사용한다.

 

D<0이면 이차함수가 0보다 큰 범위에서만 생성되고,

 

$$D=x^2+ax-a+3<0$$을 구한다.

 

$$a^2+4a-12<0$$이므로

 

$$-6<a<2$$이다.

 

필자는 편하게 a의 값을 파악하기 위해

 

수직선을 사용한다.

 

$$-6<a<2$$에서 앞선 -2,-3,-4를 제외한

 

정수 a의 값은 -5,-1,0,1이므로

 

a의 합은 5가 된다.

8) 간단한 계산 문제다.

 

지수가 같으니까 같이 묶어서 계산한다.

 

 

9) 두 양수 a,b(b≠1)에 대하여

 

$$a^2b^-3=1$$일 때,

 

$$log_b{(a^m*\sqrt{b^n})}=10$$을 만족시키는

 

두 자연수 m,n의 합 

 

m+n의 최솟값은?

 

sol) 밑과 진수 범위는 문제에서 생각할 필요 없이 줬다.

 

그렇다면 우리는 $$a^2b^-3=1$$를 이용하여

 

$$log_b{(a^m*\sqrt{b^n})}$$을 만들어야 한다.

 

그러기 위해 먼저 둘 중 하나를 소거해야하는데

 

밑의 문자가 b이므로 a로 정리한다.

 

$$a=b^3/2$$로 정리할 수 있다.

 

그리고 $$a=b^3/2$$를 $$log_b{(a^m*\sqrt{b^n})}$$에 대입한다.

 

그리고 나오는 값은 (3m+n)/2이고

 

이 값이 10을 만족하는 m+n의 최솟값을 찾는것이 목표이다.

 

정리하면 3m+n=20이고,

 

 m+n의 최솟값을 찾으려면

 

3이 붙어있는 m의 값부터 정해준다

 

그러면 3*6=18이고, n은 나머지 2가 된다.

 

그러면 m+n=6+2=8이 정답이다.