Graphs I: Understanding Gradient (기울기)

 

Graphs I: Understanding Gradient (기울기)

이번 글에서는 그래프의 기초 개념 중 하나인 기울기 (gradient)에 대해 알아보겠습니다.

1. Gradient의 정의

기울기 m은 두 점 사이의 y좌표의 변화량(rise)을 x좌표의 변화량(run)으로 나눈 값입니다.

공식은 다음과 같습니다:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

2. 예제 1

두 점 (1, 2)와 (3, 6)을 생각해봅시다.

• rise = 6 - 2 = 4
• run = 3 - 1 = 2
• 따라서 gradient = 4 / 2 = 2

3. 예제 2 (음의 기울기)

두 점 (6, 1)과 (2, 3)을 연결하는 선분은 다음과 같습니다:

• rise = 1 - 3 = -2
• run = 6 - 2 = 4
• gradient = -2 / 4 = -1/2

4. 다양한 기울기의 예

• 양의 기울기: 선이 위로 올라가는 경우 (positive slope)
• 음의 기울기: 선이 아래로 내려가는 경우 (negative slope)

5. 기울기를 이용한 좌표 구하기

기울기 공식은 좌표를 구할 때도 유용하게 쓰입니다. 예를 들어:

  주어진 기울기 m = 1/2,
  x좌표가 2배일 때 y좌표는?
  → 2x = y라면 x = 26이라면 y = 2 × 26 = 52
  

6. 결론

기울기는 직선의 기울어진 정도를 나타내며, 함수의 증감 관계를 파악하는 데 중요한 역할을 합니다. 위의 예제처럼 수학 문제에서 자주 활용되니 꼭 익혀두세요!

7. 기울기의 특수한 경우

예시: 점 A(1,1), B(11,2), C(11,1)

1. 선분 AB의 기울기
   rise = 1, run = 10 이므로
   gradient = 1 / 10
2. 선분 AC의 기울기
   두 점 A와 C는 y값이 같으므로 rise = 0, run = 10
   gradient = 0 / 10 = 0
   → 이는 수평선(horizontal line)을 의미합니다.
3. 선분 BC의 기울기
   rise = 1, run = 0
   gradient = 1 / 0은 정의되지 않음
   → 이는 수직선(vertical line)이며, 기울기는 정의되지 않습니다.

8. y-절편(y-intercept)

y-절편은 직선이 y축과 만나는 점의 y값입니다. 식 y = mx + c에서 c가 바로 y-절편입니다.

9. 다양한 직선의 방정식

아래는 다양한 직선의 예시입니다.

Equation	Gradient (기울기)	y-intercept (y절편)
y = x + 1	1	1
y = -x + 1	-1	1
y = 2x - 4	2	-4
y = mx + c	m	c

10. 정리

• 기울기 m은 선의 방향을 나타내며, 양수면 증가하는 선, 음수면 감소하는 선입니다.
• y절편은 선이 y축과 만나는 지점입니다.
• 수평선의 기울기는 0이고, 수직선은 기울기가 정의되지 않습니다.

11. 실생활 예제: 통화 요금

문제:
통화 요금은 1분당 10센트이며, 기본요금은 60센트입니다.
통화 시간 m(분)에 따라 요금 C는 다음과 같이 표현됩니다:
C = 10m + 60   (단, 1 ≤ m ≤ 60)

이 식은 기울기 = 10, y절편 = 60인 직선의 그래프가 됩니다.

12. ax + by = c 형태의 그래프

예제: 3x + 2y = 8

• y절편: x = 0 → y = 4 ⇒ 점 (0, 4)
• x절편: y = 0 → x = 8/3 ⇒ 점 (8/3, 0)

→ 두 절편을 연결하면 직선이 완성됩니다.

주의: ax + by = c의 형태에서, b가 0인 경우 x축과 평행한 수직선이 됩니다.

13. 기울기 그래프 해석

예제: y = -2x + 4
이 직선은 x가 증가할수록 y가 감소하는 감소 함수입니다.
점 (a, 2a + 4)에서의 해석을 통해, 주어진 x값에 대해 y값을 구할 수 있습니다.

14. 변환 그래프 (Straight-line Conversion Graph)

예제: 화폐 변환 그래프
1파운드(£) = 1.78 유로(€)일 때:

• 60파운드 = 60 × 1.78 = €106.8
• €120 → £ = 120 ÷ 1.78 ≈ £67.4

→ 이처럼 비례 관계를 직선 그래프로 표현하면 변환이 매우 쉬워집니다.

15. 마무리 요약

• y = mx + c 형태는 직선의 기울기와 y절편을 쉽게 파악할 수 있게 해줍니다.
• 실생활 문제에서도 그래프는 유용하게 사용됩니다. 예: 통화 요금, 환율, 거리-시간 그래프 등
• ax + by = c 형태의 방정식도 직선 그래프가 되며, 절편으로 쉽게 그릴 수 있습니다.