GCSE ALGEBRA 대수 방정식 정리

Algebra I - 대수학 기초 정리

📘 Algebra란?

수 자체를 구체적으로 쓰지 않고, 문자(x, y 등)를 사용하여 수학적 규칙이나 관계를 표현하는 수학 분야입니다.

• 계수: 어떤 수에 곱해지는 숫자 (예: 2x의 계수는 2)
• 차수: 변수에 붙은 지수 (예: x³의 차수는 3)
• 항: 더하거나 빼는 기준으로 나뉜 식의 각 부분

✏️ 예제 1: 항 정리

예) 2a + 4ab - 3ba
→ ba = ab (곱셈의 교환법칙에 의해)
= 2a + 4ab - 3ab
= 2a + (4 - 3)ab
= 2a + ab

✏️ 예제 2: 동류항 계산

예) 4x² + 2x² - 2x² - 4x²
→ 동류항끼리 계산해야 한다
= (4 - 2)x² + (2 - 4)x²
= 2x² - 2x² = 0

✏️ 예제 3: 소수 포함 다항식

0.8x⁴y² + 0.4x⁴y² - 0.3x⁴y² + 0.8x⁴y² + 14
= (0.8 + 0.4)x⁴y² + (-0.3 + 0.8)x⁴y² + 14
= 1.2x⁴y² + 0.5x⁴y² + 14

✏️ 예제 4: 곱셈 계산

4x × 10y = 40xy

(3x)² × 4x² = 9x² × 4x² = 36x⁴

📚 다항식 곱셈 예시

(2x²)x × 2xy = 2x² × 2xy = 4x³y

2x²y² × xy - 3x²y²
= 2x³y³ - 3x²y²

(a²b³)x³ - a²b⁶ + 2a²b⁶
= a²b³x³ + a²b⁶ = a²b³x³ + (2 - 1)a²b⁶
= a²b³x³ + a²b⁶

🧮 괄호(Bracket) 계산

괄호 안에 항이 더해져 있다면, 각 항에 분배해 계산합니다.

a(b + c) = ab + ac
→ 항 각각에 곱해진다!

❗ 곱셈 기호는 생략 가능

수학에서는 곱셈 기호(×)를 생략하는 경우가 많습니다. 예: 2a는 2 × a를 의미합니다.

➖ 음수 주의

괄호 앞에 음수 부호가 있으면 괄호 전체에 부호를 분배합니다.

-(a + b) = -a - b

📝 예제 5: 부호 분배 문제

4x - 6y - 0.2(x - 3y + 2z)
= 4x - 6y - 0.2x + 0.6y - 0.4z
= (4 - 0.2)x + (-6 + 0.6)y - 0.4z
= 3.8x - 5.4y - 0.4z

📘 분배법칙과 항 정리 예제

예) 0.2(2a - 3b + 1) - 0.3(5a - 2b + 3)
= 0.4a - 0.6b + 0.2 - 1.5a + 0.6b - 0.9
= (0.4 - 1.5)a + (-0.6 + 0.6)b + (0.2 - 0.9)
= -1.1a + 0b - 0.7 = -1.1a - 0.7

예) 0.1a(0.1x - 3y) + 0.2x(y - 2x)
= 0.01ax - 0.3ay + 0.2xy - 0.4x²
= -0.36x² + 0.01ax + 0.2xy - 0.3ay

📚 방정식 풀이 예제

예) x + 4 = 10
양변에 4를 뺀다:
x + 4 - 4 = 10 - 4
⇒ x = 6

예) x - 7 = 10
양변에 7을 더한다:
x - 7 + 7 = 10 + 7
⇒ x = 17

예) 4 - x = 10
양변에 x를 더한다:
4 - x + x = 10 + x → 4 = 10 + x
양변에서 10을 뺀다:
4 - 10 = x → -6 = x
⇒ x = -6

✏️ 곱셈과 나눗셈 포함된 방정식

예) 3x = 18
양변을 3으로 나눈다:
x = 18 ÷ 3 = 6

예) x / 2 = 3
양변에 2를 곱한다:
x/2 × 2 = 3 × 2
⇒ x = 6

예) 2 / x = 12
양변에 x를 곱한다:
(2 / x) × x = 12 × x
⇒ 2 = 12x
양변을 12로 나눈다:
x = 2 / 12 = 1/6

📘 일차방정식 풀이 예제

예) 4x - 3 = 9
양변에 3을 더한다:
4x = 12
양변을 4로 나눈다:
x = 3

예) 3(x + 2) = 6
양변을 3으로 나눈다:
x + 2 = 2
양변에 2를 뺀다:
x = 0

예) x + 4 = 2x - 8
양변에 2x를 뺀다:
x - 2x + 4 = -8
⇒ -x + 4 = -8
양변에 4를 뺀다:
-x = -12
⇒ x = 12

📚 분배법칙을 포함한 방정식 예제

예) 2.8(3.1x - 2) + 0.4 = 2x + 2
= 8.68x - 5.6 + 0.4 = 2x + 2
⇒ 8.68x - 5.2 = 2x + 2
양변에 2x를 뺀다:
6.68x - 5.2 = 2
양변에 5.2를 더한다:
6.68x = 7.2
양변을 6.68로 나눈다:
x ≈ 1.08

✏️ 괄호가 포함된 복합 방정식 예제

예) 3(2x + 4) - (x + 3) = 24
= 6x + 12 - x - 3 = 24
⇒ 5x + 9 = 24
⇒ 5x = 15 (양변에 9를 뺌)
⇒ x = 3 (양변을 5로 나눔)

예) 3(2x - 3) - 2 = 2(x + 3) - 3(2x + 1)
= 6x - 9 - 2 = 2x + 6 - 6x - 3
⇒ 6x - 11 = -4x + 3
⇒ 10x = 14
⇒ x = 14 / 10 = 7/5

📎 참고: 괄호 앞의 음수는 분배할 때 모든 항에 곱해준다.

-1 × (x + 4) = -x - 4

🧠 연속된 세 수의 합 문제

문제: 연속된 세 수의 합이 189일 때, 각 수는?

풀이:
첫 수를 x라고 두고
그다음 수는 x + 1, 그다음 수는 x + 2

x + (x + 1) + (x + 2) = 189
3x + 3 = 189
3x = 186
x = 62

⇒ 첫 번째 수: 62
⇒ 두 번째 수: 63
⇒ 세 번째 수: 64

 

🧮 연속된 홀수 구하기

예제) 홀수 3개의 합이 189일 때, 각 수를 구하라

홀수는 2씩 차이 나는 수이므로,
첫 번째 수를 x라고 하면,
그다음 수는 x + 2, 또 그다음 수는 x + 4

(x) + (x + 2) + (x + 4) = 189
⇒ 3x + 6 = 189
⇒ 3x = 183
⇒ x = 61

따라서,
첫 번째 홀수: 61
두 번째 홀수: 63
세 번째 홀수: 65

📐 이등변삼각형 성질을 활용한 문제

도형 설명: 이등변삼각형 (Isosceles Triangle)에서 두 변이 같을 때, 해당 각도도 같다.

 

삼각형에 두 변이 각각 2x + 3, 7x, 4x인 경우
이등변삼각형이므로, 두 변이 같다는 성질을 이용

예)
2x + 3 = 7x

⇒ x = 0.6

📏 둘레 구하기

삼각형의 세 변이 2x + 3, 7x, 4x일 때,

둘레 = (2x + 3) + 7x + 4x
     = 13x + 3

x = 0.6일 때 대입하면:
13 × 0.6 + 3 = 7.8 + 3 = 10.8

⇒ 둘레는 10.8

 

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